【矩阵相乘指的是什么】矩阵相乘是线性代数中的一个重要概念，广泛应用于数学、物理、计算机科学以及工程等领域。它是指两个矩阵按照特定规则进行运算，得到一个新的矩阵。矩阵相乘并不是简单的元素相乘，而是通过行与列的对应元素相乘后求和的方式完成的。
一、矩阵相乘的基本定义
设矩阵 A 是一个 m×n 的矩阵，矩阵 B 是一个 n×p 的矩阵，则它们的乘积 C = AB 是一个 m×p 的矩阵。其中，矩阵 C 的每个元素 c_ij 是由矩阵 A 的第 i 行与矩阵 B 的第 j 列对应元素相乘后求和的结果。
公式表示为：
$$
c_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} \cdot b_{kj}
$$
二、矩阵相乘的条件
- 矩阵 A 的列数必须等于矩阵 B 的行数。
- 若 A 是 m×n 矩阵，B 是 n×p 矩阵，则 AB 是 m×p 矩阵。
- 若 A 是 m×n 矩阵，B 是 p×q 矩阵，且 n ≠ p，则无法相乘。
三、矩阵相乘的性质
| 性质 | 说明 |
| 结合律 | (AB)C = A(BC) |
| 分配律 | A(B + C) = AB + AC；(A + B)C = AC + BC |
| 不满足交换律 | 一般情况下，AB ≠ BA |
| 单位矩阵 | AI = IA = A（I 为单位矩阵） |
四、矩阵相乘的示例
设矩阵 A 和 B 如下：
$$
A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix},\quad
B = \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix}
$$
计算 AB：
$$
AB = \begin{bmatrix} 1×5 + 2×7 & 1×6 + 2×8 \\ 3×5 + 4×7 & 3×6 + 4×8 \end{bmatrix} =
\begin{bmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{bmatrix}
$$
五、总结
矩阵相乘是一种特殊的矩阵运算方式，要求第一个矩阵的列数与第二个矩阵的行数一致。结果矩阵的大小由第一个矩阵的行数和第二个矩阵的列数决定。矩阵相乘在计算机图形学、数据处理、机器学习等多领域有广泛应用。
表格：矩阵相乘关键信息汇总
| 项目 | 内容 |
| 定义 | 两个矩阵按行乘列求和的方式进行运算 |
| 条件 | 第一个矩阵的列数 = 第二个矩阵的行数 |
| 结果矩阵大小 | m×p（若 A 是 m×n，B 是 n×p） |
| 运算规则 | c_ij = Σa_ik × b_kj（k=1到n） |
| 特性 | 不满足交换律，满足结合律和分配律 |
| 应用 | 图形变换、数据分析、算法实现等 |
通过以上内容可以看出，矩阵相乘不仅是一种数学运算，更是现代科技中不可或缺的工具之一。理解其原理和应用，有助于更深入地掌握相关领域的知识。