求矩阵的秩：例题解析

在数学中，矩阵的秩是一个重要的概念，它反映了矩阵中线性无关行或列的最大数量。秩的计算不仅在理论研究中有广泛应用，也在实际问题如数据拟合、图像处理等领域中占据核心地位。本文将通过一个具体的例子，帮助读者理解如何求解矩阵的秩。

假设我们有一个矩阵 \( A \)，其形式为：

\[

A =

\begin{bmatrix}

1 & 2 & 3 \\

2 & 4 & 6 \\

-1 & -2 & -3

\end{bmatrix}

\]

我们的目标是计算矩阵 \( A \) 的秩。秩的定义可以通过行向量或列向量的线性无关性来确定，也可以通过化简矩阵到行阶梯形（Row Echelon Form）来完成。

第一步：观察矩阵是否存在明显的线性相关性

矩阵 \( A \) 中，第二行是第一行的两倍，第三行是第一行的相反数。这表明三行之间存在线性关系，因此矩阵的秩不可能等于 3。接下来，我们需要进一步验证秩是否为 2 或 1。

第二步：化简矩阵至行阶梯形

我们使用初等行变换对矩阵进行简化：

1. 保持第一行不变；

2. 将第二行减去第一行的两倍；

3. 将第三行加上第一行。

操作后得到：

\[

\begin{bmatrix}

1 & 2 & 3 \\

0 & 0 & 0 \\

0 & 0 & 0

\end{bmatrix}

\]

此时，矩阵已经化简为行阶梯形。我们可以看到，只有第一行是非零行，其余两行均为零行。

第三步：确定秩的值

根据行阶梯形的结果，矩阵 \( A \) 的非零行数目为 1。因此，矩阵 \( A \) 的秩为 1。

总结

通过上述步骤，我们发现矩阵 \( A \) 的秩为 1。这一结果也与我们的初步观察一致——矩阵的行向量完全线性相关，仅有一组线性无关的向量。

求矩阵的秩是线性代数中的基础技能，掌握这一技能有助于解决更复杂的线性方程组、特征值问题以及优化问题。希望本文的例题解析能够帮助读者加深对矩阵秩的理解，并熟练应用这一知识点。

最终答案：矩阵 \( A \) 的秩为 \(\boxed{1}\)。